Pengertian Induksi Matematika

Pengertian Induksi matematika. Induksi matematika (induksi matematika) adalah metode pembuktian yang digunakan untuk menentukan kebenaran suatu pernyataan dalam bentuk bilangan-bilangan asli. Induksi matematika adalah materi perluasan dari logika matematika. Logika matematika sendiri mempelajari pernyataan yang bisa benar atau salah, setara atau menyangkal pernyataan, dan penarikan kesimpulan.

pengertian induksi matematika

Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif yang digunakan untuk membuktikan pernyataan benar atau salah. Di mana suatu proses atau kegiatan berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pernyataan pernyataan yang berlaku secara umum, sehingga dalam pernyataan tertentu tertentu juga bisa benar. Dalam pengantar matematika ini, variabel-variabel formulasi dideteksi sebagai anggota dari himpunan bilangan-bilangan asli.

Prinsip Induksi Matematika
Misalkan n0 anggota N dan misalkan P(n) merupakan pernyataan untuk setiap bilangan asli n ≥ n0. Apabila:
(1) Pernyataan P(n0) benar;
(2) Untuk setiap k ≥ n0, jika P(k) benar mengakibatkan P(k + 1) benar. 
Maka P(n) benar untuk semua n ≥ n0.

Dari prinsip tersebut kita menerapkan induksi matematika sebagai berikut
1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
3. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Sebagai ilustrasi dibuktikan secara induksi matematika bahwa 
1 + 2 + 3 + cdots + n = frac{1}{2}n(n + 1)
Langkah 1
untuk n = 1, maka :
1 = frac{1}{2}n(n + 1)
1 = frac{1}{2}(1)(1 + 1)
1 = 1
Bentuk untuk n = 1 rumus tersebut benar.
Langkah 2
Misal rumus benar untuk n = k, maka:
1 + 2 + 3 + cdots + k = frac{1}{2}k(k + 1)
Langkah 3
Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Sehingga:
1 + 2 + 3 + cdots + k + (k + 1) = frac{1}{2} (k + 1)((k + 1) + 1)
Pembuktiannya:
1 + 2 + 3 + cdots + k + (k + 1) = frac{1}{2} k(k + 1) + (k + 1)
 (dalam langkah 2, kedua ruas
ditambah k + 1)
= frac{1}{2}k (k + 1) +frac{1}{2} [2(k + 1)]
. (k + 1) dimodifikasi menyerupai 
frac{1}{2} k (k + 1)
)
= frac{1}{2}[k(k + 1) + 2(k + 1)]
            (penyederhanaan)
= frac{1}{2}(k^2 + k + 2k + 2)
= frac{1}{2}(k^2 + 3k + 2)
1 + 2 + 3 + cdots + k + (k + 1) = frac{1}{2} (k + 1)(k + 2)
                    (terbukti)

Bilangan bulat hasil pembagian
Suatu bilangan dikatakan habis dibagi jika hasil pembagian tersebut adalah bilangan bulat. Sebagai ilustrasi, dibuktikan secara induksi matematika bahwa 
5^{2n} + 3n - 1
habis dibagi 
Langkah 1
untuk n = 1, maka:
5^{2n} + 3n - 1 = 5^{2(1)} + 3(1) - 1
=5^2 + 3 - 1
= 27
27 habis dibagi 9, maka n = 1 benar.
Langkah 2
Misal rumus benar untuk n = k, maka :
5^{2n} + 3n -1 overset {menjadi}{rightarrow} 5^{2k} + 3k - 1
                  (habis dibagi 9)
5^{2k} + 3k - 1 =9b
     (b merupakah hasil bagi 
5^{2k} + 3k - 1
 oleh 9)
Langkah 3
Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Pembuktian:
5^{2(k + 1)} + 3(k + 1) - 1
= 5^{2k + 2} + 3k + 3 - 1
= 5^2 (5^2k) + 3k + 3 -1
kemudian 
(5^{2k})
 dimodifikasi dengan memasukan 
5^{2k} + 3k - 1
.
= 25 (5^{2k} + 3k - 1) - 75k + 25 + 3k + 3 -1
= 25(5^{2k} + 3k -1) - 72k + 27
= 25 (9b) - 72k + 27
= 9 (25b - 8k + 3)
 … akan habis dibagi oleh 9 (terbukti)